Вопрос
Должны ли письменно уведомить, что по какой-то причине закрыт выезд из страны?

Ответ
Смотря, кто и как закрыл границу. Если по решению суда, то Вы должны участвовать в судебном процессе и знать ситуацию. Если границу закрыли через судебного исполнителя, то никто уведомлять не будет.